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在  0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6  這12個數字之中，選 4個數字出來，

可以排成_________個四位數。

                                                       詳解請看【插頁】\【進階教學】

底下是有限制的重複組合:

意義(1):在 3大類的物件中，可以重複地選取 5件，每類至少取一件，取法有 =6種

(說明):每一大類先各取 1件，故變成:

          在 3大類的物件中，可以重複地選取 2件，所以取法有 =6種

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意義(2):把 5件相同禮物，全給甲乙丙 3人，每人至少 1件，方法有 =6種

(說明):每人先各發 1件，再把剩下的 2件，任意分給 3人，分法有 =6種

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意義(3):把 5個相同的球，全投入 3個不同箱子，每箱至少投入 1球，方法有 =6種

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意義(4):方程式 x+y+z=5  的正整數解有 =6 組

(說明): 

              ^{令   x‘   = x - 1  ,  y‘   = y - 1  ,  z‘   = z - 1  ,}

             所求即為  x^‘   + ^, y^‘   +   z^‘   = 2  之非負整數解，共有 =6 組解。

^{下面這題是類題:}

意義(4): x +y +z =5 的非負整數解有 組。

如第一篇【重複組合】基本觀念介紹 (一)  把 歸類:

 以上5類的總數就是= ，所以得到結論，

   方程式   x +y +z =5 的非負整數解有 組。

意義(2): 把 5個相同禮物，全部分給甲乙丙 3個人，方法有 種。  

說明:如上一篇【重複組合】基本觀念介紹 (一)  把 歸類:

以上5類的總數就是= ，所以得到結論，

把 5個相同禮物，全部分給甲乙丙 3個人，方法有 種。

意義(3): 把 5個相同的球，全部投入 3個不同的箱子，投球方法有  種

我們一般講【組合】，都是指【不重複組合】，其符號是

例如: 在 5個不同物品之中，任意選出 3件(為一組)，方法數是

實際上，組合應該包含兩種，即【不重複組合】與【重複組合】。

而後者學生較難搞懂。

n, m 是兩個非負整數，n , m 不一定熟大，

重複組合的符號是 ，而且定義 ,

底下針對     

其意義如下列:

意義(1)在 3大類的物件(每類個數大於 5)之中，例如在一堆相同的網球、

一堆相同的足球，一堆相同的籃球之中(每一堆球的個數大於5)，(可以重複

地)挑出 5個來(為一組合)。這就是【重複組合】的原始定義。

設網球是 a,a,a,a,a,a,…

    足球是 b,b,b,b,b,b,b,b,,…

    籃球是 c,c,c,c,c,c, c,c,c,c,c,c,…

所有可能的挑法有五類，如下表:

     加總，得 21種重複選取的組合數。

而這樣的總數 21，正好就是 5個相同物和另 2個相同物排一列的

【不盡相異物的排列】的排列總數，即 ，

原因看下面的 powerpoint 檔:

combination

                                 ……接下來，請閱讀【重複組合】基本觀念介紹(二)

helence

把 a a b b b c d e f 九個字母排一列，求同字不相鄰的排法有_____種。

                                          詳解請看【插頁】\【進階教學】

練習

把 a a b b b c d e 八個字母排一列，求同字不相鄰的排法有_____種。

嗡嗡嗡的叮嚀:

這裡放了許多題目的詳細講解，當做上課的補充，包括近10題的【補救教學】，

近20題的【進階教學】，每一題的講解，就如我們實際上課般仔細說明，而不是

像一般自修，只有讓同學看起來霧煞煞的算式。

由於數學符號特殊的關係，要把一個題目直接呈現在現在看得到的螢幕上，也就是

所謂『所見即所得』，而不是讓同學連結到 doc、pdf、jpg等，再去找對應的程式

打開該檔，才能讀到其內容，這須用到數學、科學專用的LaTeX語言，和編輯網頁的

HTML語言(目前大多數的老師辦不到)，每一題都要花掉我大量的工作時間，希望同

學們能多多利用這些教學素材，也是給嗡嗡的最佳回饋。

第三次段考只剩下兩個禮拜，為了補救同學們第二次段考的超低分，這一次的難度會

大大降低，即使如此，因為這次段考的範圍太大，而且高中數學有一定的難度，所以

同學們想要拿高分，還是得加把勁!

在這個園地我提供的【補救教學】部份，第三次段考一定、一定會考;至於各名校常

考的【進階教學】部份，功課好的人也應該多加著墨，才能增強數學實力，擠進高中

數學高手之林。

最後，已經學期末，就要結算平時成績了，還有若干同學的習作還沒交，記得要趕快

補交!下面放的是習作的詳解，供同學參考:

課本2-1

課本2-2

課本2-3

第二章綜合演練:

課本2-4

8人搭三船(船不同)，每船限搭5人，求安全過江的方法有___種

                詳解請看【插頁】\【進階教學】