thuhsc006

 一樓梯有 12階，上樓每步 1或 2階，               

(1)   有_____種上樓方式

(2)   不踩第5 階，有_____種

(詳解)

(1)假設每步走 1階的 x步，每步走 2階的 y步， 則得 x + 2 y= 12

表格中，當 x=8, y=2，表示有8步是每步1階，2步是每步2階，

而8步及2步排一列，是【不盡相異物排列】，方法是

 ， 其他情形仿之。

得答案= 1 + 11 + 45 + 84 + 70 + 21 + 1 = 233

另解: 233正好是數列 <1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …>

中的第 12項，這個遞迴數列就是聞名的費波那西數列

(Fibonacci Sequence)

                            請看【插頁】\【認識數學家】

(2)不踩第 5階，是拿全部的上樓方法 233種減必踩第 5階的方法。

   必踩第 5階，分前段:第1到第5階的上樓方式，有8種(上述

   數列的第5項)，後段:從第5階到第12階，相當於第1階到第7

   階，走法有21種(上述數列的第7項)，故必踩第5階的上樓方法

   是 8×21=168 

   答=233-168=65種上樓方法。 

練習:

試題:

pc

解答:

pca

將 6本相同的書，全部分給甲乙丙 3人

  (1)分法有_____種

  (2)每人至少 1本，有_____種分法

(詳解):

(1)東西相同，分給人，是重複組合的題型。

    由重複組合的意義(2)，得知答=  

(2)每人至少一本，因為書本相同，可以每人先各發 1本，

    再把所剩的 3本任意分給甲乙丙，分法種。

6 本不同的書，全部分給甲乙丙 3人，

  (1)有____種分法

  (2)每人至少 1本，有_____種分法。

(詳解):

(1)

東西相異，分給人，是重複排列的題型。

可將書本編號成第 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 號

對於第 1號書，可以分給甲或乙或丙 3種可能

其他

 對於第 2，3，4，5，6 號書，也都可以分給甲或乙或丙 3種可能

所以答案=3×3x3×3x3×3= 3的 6次方=729

(2)由取捨原理的應用，知

分法有 

 甲乙丙丁戊己庚 7人排一列，求各小題的排法數: 

 (1)甲乙相鄰，丙丁不相鄰的排法有____種

 (2)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰的排法有____種

 (3)甲不排首位，乙不排末位，丙不排中央的排法有____種

 (4)甲乙丙不排首位，乙丙丁不排末位、庚必須排中央的排法有____種

(詳解)

(1)

    先將甲乙綁在一起，當做一個人，因甲乙可互調，方法 2!

    再來，甲乙兩人(當1人)與戊己庚排一列，排法 4!

    最後，插入丙，插法 5，再插丁，插法 4

     答=2!x4!x5×4=960

(2) 設A=甲乙相鄰的所有排法所成集合

         B=丙丁相鄰的所有排法所成集合

     則所求為

     

(3)如(2)，引用取捨原理(排容原理)，

    答=1×7! -3×6! +3×5! -1×4! =3216

    (參考閱讀【取捨原理的應用】篇。)

(4)

                                                                              _  _  _  庚  _  _  _  (庚排中央)

     只要決定首末兩位的所有可能排法，再乘 4! 

     而首位可以排 丁戊己庚

         末位可以排 甲戊己庚

     當首位排丁，末位有 4種排法

     當首位排戊或己或庚中的 1人，末位有 3種，

     故首末位可能的排法是 4+ 3×3 =13

     答=13×24=312

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甲乙丙丁戊己庚辛 8人排一列，

 

(1)求甲乙丙丁4人中，恰巧有3人相鄰的排法

 

(2)求甲乙丙丁4人全部不相鄰的排法

 

(3)求甲乙在丙丁戊的左方的排法

(詳解)

(1)

step 1.先從甲乙丙丁 4人中選出 3人為一組，另 1人一組，

          選法有 4種，例如:甲丙丁 3人一組，乙自己 1組。

step 2.在 3人一鉏中的 3人可以任意調換，方法 3!=6 種

step 3.先把其他戊己庚辛 4人排成一列，排法 4!=24 種

step 4.再插入(1)步驟中的 3人1組及另 1人一組，插法 5×4=20 種

           由 (1)(2)(3)，得答=4×6x24×20=11520  種

(2)先把戊己庚辛 4人排成一列，排法 4!=24 種

    在5個空格中插入甲、乙、丙、丁，插法 5×4x3×2=120種

          答案=24×120=2880 種

(3)先假求甲在乙左、乙在丙左、丙在丁左、丁在戊左，

    即甲、乙、丙、丁、戊 5人保持由左而右的順序(但不一定相鄰)

    方法有 (8!)/(5!)=8×7x6=336

    又.甲乙可互換，丙丁戊 3人可以互調，

         答=336×2!x3!=4032 種

5 本不同的書，4支相同的筆，全部分給甲乙丙3人，

1. 求每人至少 1本書、至少一支筆的方法
2. 求每人至少 1本書或至少一支筆的方法

                                                               
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                                             詳解請看【插頁】\【進階教學】

6 本不同的書，5支相同的筆，全部分給甲乙丙3人，

1. 求每人至少 1本書、至少一支筆的方法
2. 求每人至少 1本書或至少一支筆的方法