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普通高級中學必修科目「數學」課程綱要

中華民國97年1月24日台中（一）字第0970011604B號令發布

壹、課程目標

普通高級中學必修科目「數學」課程欲達成的目標如下：

一、培養學生具備以數學思考問題、分析問題和解決問題的能力。

二、培養學生具備實際生活應用和學習相關學科所需的數學知能。

三、培養學生欣賞數學內涵中以簡馭繁的精神和結構嚴謹完美的特質。

貳、核心能力

一、演算能力：能熟練多項式、分式、根式、指對數、三角的運算及估算。

二、抽象化能力：能將具體世界中的概念以數學形式表徵。

三、推理能力：能認識證明，並進行推論。

四、連結能力：能整合數學內部知識並與具體世界連結。

五、解題能力：能解決數學形式與生活情境中的數學問題。

六、溝通能力：能正確、流暢地利用口語或文字表達解題想法。

七、使用計算工具的能力：能使用計算器來處理繁瑣的計算與解決較複雜的問題。<!–more–>

參、時間分配

    第一、二學年每學期四學分，每週授課四節。

肆、教材綱要

普通高級中學必修科目「數學」課程分為數學I、II、III、IV，各四學分。

一、各學年課程的定位如下：

高一數學（數學I、II）的定位為學習與生活關聯或其他學科需要用到的數學，以建立學生在各學科進行量化分析時所需要的基礎。高一上處理有關連續量的課題，包括由度量連續量所產生的實數，以及描述量與量關係的基本函數，如多項式函數與指數、對數函數。高一下處理有關離散量的課題，包括數列與級數、排列組合、生活中常見的古典機率，以及其他學科常用到的數據分析等。

高二數學（數學III、IV）的定位為社會組與自然組學生在學習上所應具備的數學知識，其主題為坐標、向量幾何與線性代數。

二、教材綱要包括主題、子題、內容、備註。備註欄表列學習規範及全國性評量不應測試的內容。有關綱要內容的說明與範例則置於附錄。

三、課程分版：高二數學分為A、B兩版，B版的內容包含A版，所增加的題材以加註◎號區隔。

第一學年：數學I（函數）、4學分

數學II（有限數學）、4學分

第二學年：數學III（平面坐標與向量）、4學分

全文請看   99

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p-and-c

101下學期第2次段考試題

單選:

D          B

多選:

ABDE  CD  BDE   BDE

填充:

12     264   26   102    70    729    84     28

210    60  141          42      15   10或11  90

老師的話:

本次段考成績普遍不佳，同學們還要更努力才行。

榮譽名單:

甲班:佳儒、則葳、玟廷。

丙班:榮辰、奕人、陳圓、春函、怡齡。

戊班:琬芯、傳法、庭瑋。

我們上課時會一題一題檢討，希望大家要弄種，以後補考再遇到的話，應該要會做才可以。

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進階教學(10))—-|x|+|y|+|z|=30的整數解問題

方程式 |x|+|y|+|z|=30
(1)有_____組整數解
(2)有_____組xyz≠0的整數解

(詳解)

(1)

分三類計算:

第一類:x,y,z中恰有一個是0，3種，假誛z=0而x,y都不是0，

    得  |x|+|y|=30，當x,y>0，x+y=30，有 29組，

   因為 x 可正可負，y也是可正可負， 

   故(x, y)有29×2x2=116組

   所以這一類的(x, y, z)的整數解共 3×116=348組

  
第二類:x,y,z中恰有兩個為0，3種，假設 y=z=0，而x不是0

   得  |x|=30，故x=30或-30

   所以這一類的(x, y, z)的整數解共 3×2=6組

第三類:x,y,z均不是0，

  當 x,y,z均為正數，得 x+y+z=30，  共有 組

  所以這一類的(x, y, z)的整數解共 406×8=3248組

(1)答案為以上三類總和=348+6+3248=3602組

(2)所求就是(1)的第三類，答=3248組

練習:

方程式 |x|+|y|+|z|=20
(1)有_____組整數解
(2)有_____組xyz≠0的整數解

•(2)所有 n 之和=__128688_______             

•(3)滿足 4 | n的 n 共有_74____個                   6.把 6本相同的書，全給3人，

•(4)滿足 3 | n的 n 共有__106___個                     (1)共有__28______種

•2. 甲乙丙丁戊己 6人排一列。                             (2)每人至少一本書 ___10___

•(1)甲乙丙相鄰，丁戊相鄰 _72_____                7.方程式 x + y + z + u = 6

•(2)甲乙丙全分開 __144_____                           (1)有_84_____組非負整數解

•(3)甲不排首、乙不排末 _504_______                (2)有__10____組正整數解

•(4)甲乙不排首、乙丙丁不排末 _240____            (3)x>2,y≥-1,z>1,u>-1 

3.把 attention 排一列                                            有_10組整數解

•(1)共_30240________                                   8.方程式x + y + z + u < 8

•(2)首末排子音 ___8400________                     (1)有__330____組非負整數解

•(3)母音保序 ____1260______                          (2)有__35____組正整數解

•(4)3個 t 全不相鄰 __12600______                  9.方程式 x+y+z+u²=18

•(5)同字不相鄰 __10200_____                            (1)有_542____組非負整數解

•3. 一樓梯12階，上樓每步1或2階，                     (2)有__226_____組正整數解

•(1)有__233_____種上樓方式

•(2)不踩第5 階，有__65_____種

檢視較大的地圖

進階教學(9)—-xyz=720的整數解問題

方程式 xyz=720
(1)有幾組正整數解
(2)整幾組整數解

(詳解)

(1) 

先把720寫成標準分解式720=2⁴ x3 ² x5

這意思是有

4個 2(想成4支相同鉛筆)

2個 3(想成2支相同鋼筆)

1個 5(想成1支原子筆)  

例如:

x 得0個2 ，2個3，0個5

y 得3個2 ，0個3，0個5

z 得1個2 ，0個3，1個5

即表示 x=1×9x1=9,  y=8×1x1=8, z=2×1x5=10，此時滿足 xyz=720 

任意分給 x, y, z 三人(想成甲乙丙三人)，方法是

(2)在(1)的例子x=9,  y=8, z=10，

   當 x,y,z是整數，下面三個也是其解

   (9,-8,-10), (-9,8,-10),(-9,-8,10)

  所以答=270×4=1080

練習:

方程式 xyz=1800
(1)有幾組正整數解
(2)整幾組整數解

 

將『夢如人生，人生如夢』八個字排一列，求人與生兩個字不相鄰的排法有____種

(詳解):

把題目看成【將a,a,b,b,c,c,d,d排一列，求a與b不相鄰的排法】

方法如下:

先排 b,b,c,c,d,d，之後再插入a,a

先排 b,b,c,c,d,d 的情形，分成下列兩種來考慮:

(1)b,b相鄰:例如 c, b, b ,d, c, d，排法有  

   接下來，插入兩個a，可能兩個a在一起，有4種方法，

                 或兩個a分開，有 C(4,2)=6 種插法

   故得 30x(4+6)=300種

(2)b,b不相鄰:例如 c, b, d, c, b, d，方法有 

   接下來，插入兩個a，可能兩個a在一起，有3種方法，

                 或兩個a分開，有 C(3,2)=3 種插法

   故得 60x(3+3)=360種

(1)+(2) 答案=660

下面是 utube 上的講解:

 建國中學99年下學期第二次段考試題試卷及解答:

99建中高一下段2

其中填充第9題，

甲乙丙丁戊己庚辛8人比賽桌球，每兩人一組，單淘汰，如賽程表，若第一輪甲乙對打且丙丁不對打，賽程排法有____種。

我提供一種解法-正面作法:

把四組對打的其中兩組放置在左邊，另兩組放在右邊，

再設甲乙對打是四組中的一組，把該組放在左邊。

則丙丁不對打的情形只有以下三種:

(1)丙與【戊己庚辛】中的一人對打，並且放在左邊，方法 4×3=12 種

(2)丁與【戊己庚辛】中的一人對打，並且放在左邊，方法 4×3=12 種

(3)丙丁兩人都在右邊，而且他們不對打，方法 C(4,2)x2=12 種

(1)(2)(3)加起來，得答案 = 36 種

另解:見網路上的 video: