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Read Euler, read Euler, he is the master of us all.  P.-S.de Laplace Euler（1707～1783）生於 Basel，卒於聖彼得堡。瑞士數學家，貢獻遍及數學各領域，是數學史上最偉大的數學家之一，也是最多產的數學家。Euler 生於公元1707年4月15日，但隨即其家庭就搬到 Basel 近郊的 Riehen。Euler 的父親 Paul Euler 是一名加爾文教派的教師，但他在大學求學期間與 John Bernoulli 的哥哥 Jacob Bernoulli 家住過並從 Jacob 身上學了不少數學。Paul 希望 Euler 讀神學，但他卻犯了最大的錯誤， 在 Euler 很小的時候便教他數學，挑動了他內心中的數學靈魂。Paul期望Euler成為神學家， 但是他最好的朋友卻是大數學家 John Bernoulli。Paul 計劃 Euler 將來成為牧師傳道、宣揚聖經真理， 但 Euler 讀大學時所接觸卻是 Bernoulli 家族這個宣傳數學真理的家族。Paul 只是希望其兒子成為 Riehen 的牧師。但 John Bernoulli 卻跟他勸說「Euler 註定要成為大數學家，而非 Riehen 的牧師。」我們感謝上帝 ，因為 Paul 的信仰並沒有使他走火入魔，把自己的旨意當作上帝的旨意。最後 Paul 終於在 John Bernoulli 之勸說同意 Euler 攻讀數學。從此展開他燦爛的學術生涯，並成為數學史上最偉大的數學家之一。  Euler 的數學生涯開始於牛頓去世的那一年。這實在是一個不可多得的時代，解析幾何、 微積分的發展已達到某種程度，並被應用到不同領域的問題。更重要的是牛頓的萬有引力定律已經是天文、物理學的基礎。 並進而是研究各類物理問題不可或缺的工具。Euler躬逢其時，再加上自身的才華，逐一對整個數學 ─純數學與應用數學─進行有系統的研究。Euler對於數學的貢獻是全面性的，從數論到分析，無論抽象或應用，基本上我們可以稱他是一個百科全書型的數學家。  他是有史以來瑞士最多產的科學家，也是一個不可思議的數學幻想家，他在任何領域都能發現數學， 在任何情況都能進行研究。…」 對筆者而言 Euler 是我個人最喜歡的數學家。原因是 Euler 做了一些跟他才能相當的偉大數學家從沒做過的事，就是：他解釋了他是如何發現他的結果。這可由他所寫的教科書《無窮微量分析入門》視出端倪。他在這套書中 將指數與對數函數兩者立在相等的基礎上，而再用分析（微積分）的技巧來各自發展。 這套教科書另一個重要工作則是連分數。做為教科書對數學分析的影響， 這套書可媲美歐幾里得（Euclid）的《原本》。  Euler 一生都是在科學院度過。首先是在俄國的聖彼得堡科學院，1740年後則在柏林科學院待到59歲。由於與腓特列大帝相處的問題，離開柏林，接受凱薩琳女皇二 世邀請再次前往聖彼得堡，一直到他過世（1783年）。科學院的工作讓他可以專心研究數學，不必為了任何政治服務，更不需為了一堆申請表格而耗費生命，全 心全意地將整個生命投入，就好像宣教師將他的生命奉獻給上帝一般。一個將數學視為生命的人絕對不同於將數學視為職業的人。正如法國數學家 Arago 所描述， Euler 以其超乎想像的能力進行重要的數學研究，其感覺就好像呼吸那麼自然，如鷹展翅在空中翱翔那麼容易。   相對於牛頓的內向、退縮、神經質，Euler 則是樂觀且仁慈寬厚，甚至在1771年眼睛完全瞎掉，仍保有樂觀的性格，雖然在幾乎完全失明之下，Euler 仍藉由口述給他的助理（實際上就是他的兒子 Albert Euler）， 來繼續未曾停歇的數學創作。在後來的17年間 Euler 繼續發展著數學，如果說有什麼不同，那就是他比以前更多產。他的智慧使他巧妙地把握各種概念和想法而無需將它們書寫在紙上，他非凡的記憶力，使他的頭腦有如一個堆滿知識的圖書館。   Euler 對於數學的貢獻，我們無法在此一一個數，其中我個人第一次對 Euler 有深刻印象是 Euler 公式  這是關於三角函數最漂亮的公式之一，同時也是三角函數與複數間的橋樑，若令， 則有  Euler 本人非常喜愛這公式，並宣稱這是最美麗的數學公式，原因是這式子有 1、0 分別是乘法、加法這兩個基本運算系統的單位元素， 還有三個運算方法，加法、乘法與次方，兩個特別的超越數：e 與圓周率 π，再加上 i 這個虛數單位。 這個公式後來也成為 Lindermann 證明 π 是超越數的工具，從此也結束了化圓為方的美夢。   Euler 與牛頓，Leibniz 都是屬於新數學理論的開拓者，有人將 Euler、Gauss、Riemann 在數學的地位比喻為樂壇上的三 B：巴哈、貝多芬、布拉姆斯，但有人將Euler 比擬為數學界的莎士比亞： 普世性、鉅細靡遺、取之不盡、用之不竭。 雖然 Euler 過世有兩百多年，但他今天仍然活在數學的每個角落。當你接近他的時候會感受到一股親切的溫柔。   資料來源：數學知識

Cardano（1501～1576）生於義大利 Pavia，卒於羅馬，是義大利米蘭的學者。現在我們稱三次方程的求根公式叫作「Cardano 公式」，這公式其實不是 Cardano 發現的，而是他在1539年從別人那裡騙到的，把它寫入《Ars Magna》（大衍術）書中。他有多方面的才幹，曾寫過一本機率對局的書，這是有關機率論最早的一本書。他性喜賭博，因而對機率產生了興趣。 在解方程 x3=px+q, p>0, q>0 時（當時尚不允許負數），他利用恆等式    (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)   令 x=a+b, p=3ab, q=a3+b3，後兩式告訴我們 a3 與 b3 和與積，因此可解出 a3 與 b3，     而導出解      Cardano 發現，這公式中有一個困難他無法解決，就是當 ，公式無可避免地導致一負數的平方根，也就是說，公式牽涉到「虛數」，這個問題直到高斯和 Dirichlet 以後才得到解決。 資料來源：林聰源教授 撰∕清大數學系

64片金屬片，到底要花多久，才能被移動完？ 1883年，一位法國的數學家 Edouard Lucas 教授在歐洲的一份雜誌上介紹了一個相當吸引人的難題─迷人的智力遊戲。這個遊戲名為河內塔(Tower of Hanoi)，它源自古印度神廟中的一段故事(也有一說是 Lucas 教授為增加此遊戲之神秘色彩而捏造的)。傳說在古老的印度，有一座神廟，據說它是宇宙的中心。在廟宇中放置了一塊上面插有三根長木釘的木板，在其中的一根木釘上，從上至下被放置了64片直徑由小至大的圓環形金屬片。古印度教的天神指示祂的僧侶們將64片的金屬片移至三根木釘中的其中一根上。規定在每次的移動中，只能搬移一片金屬片，並且在過程中必須保持金屬片由上至下是直徑由小至大的次序，也就是說不論在那一根木釘上，圓環形的金屬片都是直徑較小的被放在上層。直到有一天，僧侶們能將64片的金屬片依規則從指定的木釘上全部移動至另一根木釘上，那麼，世界末日即隨之來到，世間的一切終將被毀滅，萬物都將至極樂世界。 詳細資料(資料來源)：請按我!

如果偶而我或多或少疏忽了任何適當或必要的事情，我懇求您的寬恕。因為沒有人能無過並在所有事物上都考慮周詳。—斐波那契斐波那契一直都不是「斐波那契」，他於1170 年生於比薩，在他的著作《花朵》（Flos, 1225）中，他稱他自己為Leonardo PisanoBigollo。沒有任何直接證據顯示他的正式名稱與「斐波那契」這個名字有關。以「斐波那契」代替Leonardo Pisano 似乎是1838 年由數學史家Guillaume Libri 開始，此後便約定俗成，沿用至今。事實上，如果你在當時要尋找斐波那契這個數學家，必定是徒勞無功的。 詳細資料：請點選我

讀古典幾何之人，不能不知歐幾里得 ; 研究近代幾何學之人，則不能不知黎曼，黎曼有如上天賜給人類的珍貴禮物，但很快的又被上天所收回，在他短短的生命中，黎曼對幾何及複變函數論的貢獻可以說 是難以取代的。如果說阿貝爾(H．Abe1)的工作留給後世數學家忙碌五百年，那麼黎曼也不例外，至今距他逝世已將近一個半世紀，所謂的” 黎曼猜想 (Riemann hypothesis) “有關複變數zeta函數之所有零點之分布，仍懸而未解。        黎曼(EieOng Federich Bernard Riemann)於1826年出生於德國漢諾威(Hannover)附近的一個小鎮。父親是個新教牧師，薪水微薄，家庭人口眾多，以致生活條件極為清苦， 他的母親及三個姊妹都可能因營養不良而罹患結核病去世，最後黎曼亦不能倖免，他於1866年過世時，年僅40歲。         黎曼年幼時受教於父親及村裡之私墊教師，而在那個階段，他已表現出對數學超乎常人的能力，而使他的老師錯愕不已。在他16歲那年，他的父親因工作之故，舉家 遷移至一個叫Lunneburg的地方，這時黎曼十分幸運地遇見了一位欣賞他數學方面才能的老師施馬爾夫斯(SchmaIfuss)。施馬爾夫斯引導他閱 讀許多數學方面的書籍，如尤拉(Euler)、拉朗日(Lagendre)等人的著作，據說黎曼將拉朗日800頁的著作” 數論 “在一週內就閱讀完畢，並能掌握其中許多內容。在他20歲那年，他被送入哥廷根(Gottigen)大學就讀語言與神學，但黎曼實在難以抗拒數學對他的吸 引，得到父親的允許，他改唸數學。在當時哥廷根大學雖有如高斯(F．Gauss)這樣偉大的數學家，卻不見得是個能培育英才之所在。哥廷根的教授們高高在 上，並不積極鼓勵學生們從事有創意的思考及數學的研究，甚至高斯本人也只教學生基本的數學而已。於是黎曼第二年轉學到柏林大學就讀，在那兒他受到了許多人 的啟示，如雅可比(Jacobi)、狄利克雷(Dirichlet)、史泰納(Steiner)、愛森斯坦(Eisentein)等人，尤其是狄利克雷對 他影響尤其甚遠，在黎曼後來的數學工作裡，他引用了許多狄克雷的想法，黎曼稱之為狄利克雷原則(Dirichlet Principle)。                             黎曼於1849年回到了哥廷根，二年後完成了他的博士論文-” 單複變函數一般理論的基礎 “，在這篇論文中，他奠定了許多單複變函數性質及黎曼曲面的觀念，而其中最重要的結論之一是他證明了現代複變函數論中的定理-黎曼映射定理。1854年， 黎曼為了取得哥廷根的一個臨時教職，在申請時，他必須捉出篇論文及一個演講報告，黎曼提出了一篇有關黎曼積分(即目前微積分課程中所討論的Riemann IntegraI)的論文，並提個講演的題目， 一是數學物理，一是分析，一是幾何方面的題材，由哥廷根大學主試者挑選，最後高斯選擇幾何方面的題目，論 作為幾何基礎之假設，這篇講演可以說是奠定了近代微分幾何學基礎的偉大貢獻(n維度空間中度量曲率的觀念以及這些量與空間幾何的性質)。據說在黎曼給演講 時，只有高斯一面聆聽一面深思，而事後，其他的聽講者都承認不知其中所有內涵，演講後高斯給予極大的評價與肯定，而黎曼也就理所當然的取得了講師的職位。 在哥廷根擔任講師的這段期間，對黎曼數學生涯而言是十分成功的，他在代數幾何方面也有了許多偉大的貢獻，只不過他微薄之薪資是靠他課堂上的學生所支付的， 那時，他的班上有八個學生(以當時而言算是很多了)其中之一就是戴得金(Dedekind)，由於如此，他經常處於半飢餓狀態。1855年高斯去世，他的 職位就由狄利雷而接任，黎曼在數學界也漸漸受到肯定。1857年，他當上了副教授，收入也開始穩定下來。1859年，狄利克雷去世，由於狄利克雷對黎曼的 欣賞與肯定，他的職位也就由黎曼繼承，這時黎曼三十三歲，已是高斯的第二個繼承人。1860年在數學物理的歷史上也是值得紀念的，因為黎曼的論文”論熱導 體的問題”中他發展了整套二次微分形式的系統，而這些已是相對論中相當基礎的工作。1862年，黎曼與妻子科舍(Elise Koch)在巴黎結婚，第二年產下他們的女兒，而此時，他已得了肺結核而且到了末期，為了治病，政府給他一筆經費，使他能到義大利養病，在訪問義大利期 間，他受到當地數學界熱忱的歡迎，而他的義大利同僚貝地(E.Betti)及貝特拉米(E.Beltrami)也因黎曼獲益良多，而在拓樸學及微分幾何學 上有偉大的成就 。         1866年夏天，偉大的數學家黎曼在義大利馬然雷湖邊的Selasca過世。根據戴得金後來為他的老師黎曼作傳中是這樣描述這位偉人的最後一刻，「黎曼已感到體力極 度下降，生命逐漸的消失，在逝世的一天，他仍在湖邊的一棵無花果樹下繼續他的工作，他心情十分平靜，但仍念念不忘他的親人，他的夫人給他酒與麵包，並為他 祈禱，黎曼既沒有痛苦呻吟，也沒有掙扎的嚥下他的最後一口氣，而儘然長逝。黎曼與他的父親都是上帝忠實的僕人，只是所表達的方式不同而已。」戴得金於 1876年將黎曼畢生工作整理出版，起初是以德文刊印，後來才被譯成多種語文。戴得金當時並不完全瞭解黎曼的工作對後世有如此深遠的影響，直到二十世紀， 偉大的數學家魏耳(H．Weyl)及物理學家愛因斯坦(A．Einstei。)發表了他們的成果，其中有許多黎曼的想法與成果，人們才知道黎曼的思維是超 越時空的。至今黎曼假設仍是數學家們最大的挑戰之一。有人說:「對於黎曼假想之完全解決，我們期待另一個黎曼的誕生」。 資料來源:中正大學數學系

第一次段考試卷

第二次段考試卷

第一次段考試題暨答案卷

第二次段考試題暨答案卷

1. 100年台中市優良教育人員獎

2. 90年台中市特殊優良教師獎

3. 90年教育部獎：指導學生參加臺灣省數學科能力競賽榮獲佳作

4. 93年行政院三等服務獎章

5. 89年私立教育事業協會模範教師獎章

數與式

多項式函數

指數與對數