thuhsc006

進階教學(10))—-|x|+|y|+|z|=30的整數解問題

方程式 |x|+|y|+|z|=30
(1)有_____組整數解
(2)有_____組xyz≠0的整數解

(詳解)

(1)

分三類計算:

第一類:x,y,z中恰有一個是0，3種，假誛z=0而x,y都不是0，

    得  |x|+|y|=30，當x,y>0，x+y=30，有 29組，

   因為 x 可正可負，y也是可正可負， 

   故(x, y)有29×2x2=116組

   所以這一類的(x, y, z)的整數解共 3×116=348組

  
第二類:x,y,z中恰有兩個為0，3種，假設 y=z=0，而x不是0

   得  |x|=30，故x=30或-30

   所以這一類的(x, y, z)的整數解共 3×2=6組

第三類:x,y,z均不是0，

  當 x,y,z均為正數，得 x+y+z=30，  共有 組

  所以這一類的(x, y, z)的整數解共 406×8=3248組

(1)答案為以上三類總和=348+6+3248=3602組

(2)所求就是(1)的第三類，答=3248組

練習:

方程式 |x|+|y|+|z|=20
(1)有_____組整數解
(2)有_____組xyz≠0的整數解

•(2)所有 n 之和=__128688_______             

•(3)滿足 4 | n的 n 共有_74____個                   6.把 6本相同的書，全給3人，

•(4)滿足 3 | n的 n 共有__106___個                     (1)共有__28______種

•2. 甲乙丙丁戊己 6人排一列。                             (2)每人至少一本書 ___10___

•(1)甲乙丙相鄰，丁戊相鄰 _72_____                7.方程式 x + y + z + u = 6

•(2)甲乙丙全分開 __144_____                           (1)有_84_____組非負整數解

•(3)甲不排首、乙不排末 _504_______                (2)有__10____組正整數解

•(4)甲乙不排首、乙丙丁不排末 _240____            (3)x>2,y≥-1,z>1,u>-1 

3.把 attention 排一列                                            有_10組整數解

•(1)共_30240________                                   8.方程式x + y + z + u < 8

•(2)首末排子音 ___8400________                     (1)有__330____組非負整數解

•(3)母音保序 ____1260______                          (2)有__35____組正整數解

•(4)3個 t 全不相鄰 __12600______                  9.方程式 x+y+z+u²=18

•(5)同字不相鄰 __10200_____                            (1)有_542____組非負整數解

•3. 一樓梯12階，上樓每步1或2階，                     (2)有__226_____組正整數解

•(1)有__233_____種上樓方式

•(2)不踩第5 階，有__65_____種

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進階教學(9)—-xyz=720的整數解問題

方程式 xyz=720
(1)有幾組正整數解
(2)整幾組整數解

(詳解)

(1) 

先把720寫成標準分解式720=2⁴ x3 ² x5

這意思是有

4個 2(想成4支相同鉛筆)

2個 3(想成2支相同鋼筆)

1個 5(想成1支原子筆)  

例如:

x 得0個2 ，2個3，0個5

y 得3個2 ，0個3，0個5

z 得1個2 ，0個3，1個5

即表示 x=1×9x1=9,  y=8×1x1=8, z=2×1x5=10，此時滿足 xyz=720 

任意分給 x, y, z 三人(想成甲乙丙三人)，方法是

(2)在(1)的例子x=9,  y=8, z=10，

   當 x,y,z是整數，下面三個也是其解

   (9,-8,-10), (-9,8,-10),(-9,-8,10)

  所以答=270×4=1080

練習:

方程式 xyz=1800
(1)有幾組正整數解
(2)整幾組整數解