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The opinions expressed herein are my own personal opinions and do not represent anyone else's view in any way, including those of my employer.
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一樓梯有 12階，上樓每步 1或 2階，
(1) 有_____種上樓方式
(2) 不踩第5 階，有_____種
(詳解)
(1)假設每步走 1階的 x步，每步走 2階的 y步， 則得 x + 2 y= 12
|
x |
12 |
10 |
8 |
6 |
4 |
2 |
0 |
|
y |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
走法 |
1 |
11 |
45 |
84 |
70 |
21 |
1 |
表格中，當 x=8, y=2，表示有8步是每步1階，2步是每步2階，
而8步及2步排一列，是【不盡相異物排列】，方法是
， 其他情形仿之。
得答案= 1 + 11 + 45 + 84 + 70 + 21 + 1 = 233
另解: 233正好是數列 <1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …>
中的第 12項，這個遞迴數列就是聞名的費波那西數列
(Fibonacci Sequence)
請看【插頁】\【認識數學家】
(2)不踩第 5階，是拿全部的上樓方法 233種減必踩第 5階的方法。
必踩第 5階，分前段:第1到第5階的上樓方式，有8種(上述
數列的第5項)，後段:從第5階到第12階，相當於第1階到第7
階，走法有21種(上述數列的第7項)，故必踩第5階的上樓方法
是 8×21=168
答=233-168=65種上樓方法。
練習:
一樓梯有 11階，上樓每步 1或 2階，
(1) 有_____種上樓方式
(2) 不踩第5 階，有_____種
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