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古典機率、條件機率的【補救教學】與【進階教學】內容如下——至6月10日止

補救教學(6)—國立台灣師範大學數學系98學年度大學甄選入學指定項目甄試試題.     

           小明的媽媽在買了同品牌的10包磨菇湯和6包蔬菜湯，混放在一起。爸爸中午煮湯時順手抓2包加入水中。假設每包湯包被拿到的機率相等，

(1)   爸爸會拿到相同口味湯包的機率為             （5分）。

(2)   若爸爸拿到的是相同口味的湯包，則他拿到小明喜歡吃的磨菇湯包的機率為             （5分）。

補救教學(7)—擲2粒骰子

擲二粒公正骰子，

(1)求點數和為6的機率

(2)在點和6的條件下，求出現至少一個偶數點的機率

補救教學(8)—擲3粒骰子

同時擲3粒公正骰子
(1)求點數和為8的機率
(2)在點和大於12的條件下，求點和為奇數的機率

補救教學(9)—使機率高達0.999

一校隊王顥投籃，他的實力統計是平均每5球命中4球，
問他應該要連投幾球，才會使至少命中一發的機率大於0.999?

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進階教學(13)—丟一粒骰子4次

丟一粒公正骰子4次，依次得到的點數是a,b,c,d;

 求 (a-b)(b-c)(c-d)(d-a) =0 的機率

進階教學(14)—-紅白黑3色球，紅球先取完

袋中有紅球4個、白球3個、黑球5個，且每個球被取到機率相等，
今每次取出一球不放回袋中，連續取球，則紅球先取完的機率為?

進階教學(15)—燈泡亮了(高雄師大附中95段考試題)

牆上有6個燈泡，由左至右分別編號1到6號。擲一個骰子一次，

編號與出現點數相同的燈泡就會改變狀態（所謂改變狀態是指：

由亮變暗，或由暗變亮）。今設一開始6個燈泡都是暗的，試求下列各題

（1）若小歐投了兩次骰子，編號1、4的燈泡都亮起來的機率為?

（2）若小歐投了兩次骰子，6個燈泡都還是暗的機率為?

（3）若小歐投了三次骰子，可能出現恰有2個燈泡是亮的狀態嗎?

（4）若小歐投了三次骰子，則恰有1個燈泡是亮的機率為?

（5）若小歐投了三次骰子，則恰有3個燈泡是亮的機率為?

建中數學科通訊解題，更進一步，改成投了5次，求恰有1個燈泡是亮的機率為?

進階教學(16)—四顆骰子點數和

(1)同時擲四粒骰子，求點數和為13的機率
(2)同時擲四粒骰子，求點數和為18的機率

進階教學(16)—四顆骰子點數和

(1)同時擲四粒骰子，求點數和為13的機率
(2)同時擲四粒骰子，求點數和為18的機率

(詳解):
(1)
方法(一)
逐項列出:
(6,5,1,1) 12種
(6,4,2,1) 24種
(6,3,3,1) 12種
(6,3,2,2) 12種
(5,5,2,1) 12種
(5,4,3,1) 24種
(5,4,2,2) 12種
(5,3,3,2) 12種
(4,4,4,1) 4種
(4,4,3,2) 12種
(4,3,3,3) 4種

一共有140種，所求機率=

$\frac{140}{1296}=\frac{35}{324}$

(方法二)設4個點數分別是x，y，z，u

則題意要求 x + y + z + u =13    (x,y,z,u都是1、2、3、4、5或6)

故 (x-1) + (y-1) + (z-1) + (u-1)=9

令x’=x-1, y’=y-1, z’=z-1, u’=u-1

得 x’ +y’ +z’ +u’=9    (x’, y’, z’ , u’都是0、1、2丶3丶4或5)

$H^{4}_{9}=C^{12}_{3}=220$

但是必須扣掉下列四種情形:

(x’-6) + y’+ z’+ u’=3 的非負整數解

x’ + (y’-6)+ z’+ u’=3 的非負整數解

x’ + y’+ (z’-6)+ u’=3 的非負整數解

x’ + y’+ z’+ (u’-6)=3 的非負整數解

一共扣掉

$4\times{H^{4}_{3}}=80$

 
(2)因為一個骰子的每一對相對的面，點和固定是7，

所以點和是18的機率，等於點和10的機率，

1.
wordpress 的latex外掛(plugin:)
$latex (1+\frac{100\%}{n})^n$

2.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%29%5E5
使用 mathjax編寫方程式:

$\pi=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{{(n!)^2 2^{n+1}}}{(2n+1)!}$

$(\frac{1}{4})^6$

3.
數學公式生成器(阮一峰)
http://www.ruanyifeng.com/webapp/formula.html

4.mathtype的preference\translators\translation to other language(text):
在下拉選單選 Tex-LaTeX 2.09 and later
最下方兩個不打勾
在mathtype 輸完方程式之後，Ctrl +C，即可得到 LaTeX的語法。

進階教學(15)—燈泡亮了(高雄師大附中95段考試題)(2009全國模擬考題)

牆上有6個燈泡，由左至右分別編號1到6號。擲一個骰子一次，

編號與出現點數相同的燈泡就會改變狀態（所謂改變狀態是指：

由亮變暗，或由暗變亮）。今設一開始6個燈泡都是暗的，試求下列各題

（1）若小歐投了兩次骰子，編號1、4的燈泡都亮起來的機率為?

（2）若小歐投了兩次骰子，6個燈泡都還是暗的機率為?

（3）若小歐投了三次骰子，可能出現恰有2個燈泡是亮的狀態嗎?

（4）若小歐投了三次骰子，則恰有1個燈泡是亮的機率為?

（5）若小歐投了三次骰子，則恰有3個燈泡是亮的機率為?

更進一步，建中數學科《通訊解題》，改成投了5次，求恰有1個燈泡是亮的機率為?

 

 (詳解):

(1)(2)個選項的解說:

丟2個骰子，有6種情形得到同一點，有30種情形得到的點數相異。

當2個骰子同點，以(3,3)為例，表示3號燈泡先亮、再轉為暗。其他的5個燈泡是一直都是暗的，所以(2)的答案=

當兩次骰子丟得 (1,4)或(4,1)，這時只有編號1,4的夷個燈泡亮起來，

故(1)的答案是
$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$       

 (3)(4)(5)個選項的解說:   丟3次的共有下列三種情形，有3同、2同1異，3異。  (一)3同，如555，表示編號5的燈泡變亮、轉暗、再變亮，其他5個燈泡一直沒變動， 所以滿足所求，此類有6個可能。     (二)2同1異，如552，表示編號5的燈泡變亮，轉成暗; 而2號燈泡變亮， 所以滿足要求，此類有
$C^6_2\times{2}\times{3}=90$

(三)3異，如163，此時只有編號1，3，6三個燈是亮起來的，不合題意。

故答案=(一)+(二)=

$\frac{6+90}{216}=\frac{4}{9}$

 最後，建中數學科通訊解題，改成投了5次，求 恰有1個燈泡是亮起來的情形，同樣的思考過程，

得知共有2256種。

補救教學(9)—使機率高達0.999

一校隊王顥投籃，他的實力統計是平均每5球命中4球，
問他應該要連投幾球，才會使至少命中一發的機率大於0.999?

(詳解):
王顥的每一次投球的命中率=0.8，不命中的機率=0.2
假設教練小蔡老師要求他至少命中一發的水準必須>0.999
(不必百分之百，也不可能百分之百，永遠不會miss)，

設他連投n球，至少命中一發的機率為p，題意即要求出n，使

p>0.999
此即-p<-0.999,
兩邊同加1, 則1-p<0.001,
而1-p正是p的否定，也就是說，1-p是他連投n發，而這n發通通摃龜之機率，

所以有

  

答案:他至少須要連發5發才辦得到。

補救教學(8)—擲3粒骰子

同時擲3粒公正骰子點和列表

   

分子=P(點和是大於12的奇數)=P(和13)+P(和15)+P(和17)=

得答案為